$chisq
[1] 16877.21
$p.value
[1] 0
$df
[1] 1225Modulo 6a: Exploratory Factor Analysis - EFA
Ottavia M. Epifania, Margherita Calderan
Matrice di correlazione
L’analisi fattoriale esplorativa
Considerando \(i = 1, \ldots I\) le variabili manifeste (item) e \(p = 1, \ldots, P\) le persone e assumendo \(\theta\) come fattore latente unidimensionale:
\[Y_{pi} = \mu_{i} + \lambda_i \theta_p + \varepsilon_{ip}\] dove
\(\mu_i\): è l’intercetta per l’\(i\)-esimo indicatore
\(\theta_p\): è il livello di tratto latente non osservato per il \(p\)-esimo soggetto
\(\lambda_i\): è il factor loading (saturazione) dell’\(i\)-esimo indicatore che descrive la forza della correlazione tra l’indicatore \(i\) e il tratto latente \(\theta\)
Più dimensioni
\(\theta_1, \ldots, \theta_F\), presupponendo che \(F < I\):
\[Y_{pi} = \mu_{i} + \lambda_{i1} \theta_{p1} + \ldots + \lambda_{iF} \theta_{pF} + \varepsilon_{ip}\]
Assunzioni
\(\theta_p\) e \(\varepsilon_{pi}\) sono indipendenti tra loro
\(\varepsilon_{pi} \sim \mathcal{N}(0, 1)\) per cui \(E(\varepsilon_{pi}) = 0\)
\(\theta \sim \mathcal{N}(0, 1)\) per cui \(E(\theta_p) = 0\) e \(var(\theta_p) = 1\)
Date queste assunzioni:
\(Y_{p1} \ldots Y_{pI}\) sono localmente indipendenti data la variabile latente \(\theta_p\)
La varianza di ogni variabile manifesta viene partizionata in:
Comunalità \(h^2\)
Porzione della varianza della variabile manifesta che è spiegata dal fattore latente:
Modello unidimensionale: \(h_i^2 = \lambda_i^2\)
Modello multifattoriale con \(F\) fattori: \(h_i^2 = \sum_{f = 1}^{F} \lambda_{if}^2\)
Modello multifattoriale con \(\mathbf{\Phi}\) (matrice di correlazione \(F \times F\)): \(h_i^2 = \mathbf{\lambda_i} \mathbf{\Phi} \mathbf{\lambda_i^T}\)
Unicità \(u_i^2\)
La varianza della variabile manifesta che non è spiegata dal modello fattoriale (a uno o più fattori)
\(u_i^2 = 1 -h_i^2\)
Stima dei parametri vs. Inferenza
I parametri del modello (\(\lambda_i\), \(h_i^2\), \(u_i^2\)) possono essere stimati a partire dalla semplice matrice di correlazione osservata
Per estrarre i factor scores (il punteggio pesato in base ai \(\lambda_i\) per ogni soggetto \(p\)), valutare la fit del modello e fare inferenza è necessario avere a disposizione la numerosità campionaria e i vettori delle risposte fornite ad ogni item
Step preliminari
La domanda
Ci sono delle correlazioni tra gli item?
Test di sfericità di Bartlett
Verifica se la matrice di correlazione \(\mathbf{R}\) è significativamente diversa da una matrice identità \(\mathbf{I}\) (ovvero una matrice dove è prevista la non correlazione tra tutte le variabili).
\(H_0: \mathbf{R} = \mathbf{I} \qquad H_1: \mathbf{R} \neq \mathbf{I}\)
\[\chi^2 = - (n-1 - \dfrac{2I + 5}{6}) \ln |\mathbf{R}| \qquad \text{con} \quad df = \dfrac{I(I-1)}{2}\] con \(n\) ampiezza campionaria, \(I\) numero di item e \(|\mathbf{R}|\) determinante di \(\mathbf{R}\)
Un esempio
\(n = 50\); \(I = 2\)
\[\mathbf{R} = \begin{pmatrix} 1 & 0.6 \\ 0.6 & 1 \end{pmatrix}\]
\[\mathbf{I} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\]
Determinante: \(|\mathbf{R}|=1\cdot 1−0.6^2=1−0.36=0.64\)
\(\chi^2 = - (n-1 - \dfrac{2I + 5}{6}) \ln |\mathbf{R}| = - (50-1 - \dfrac{2\cdot2 + 5}{6}) \ln 0.64 = \approx 21.2\)
\(\dfrac{I(I-1)}{2} = \dfrac{2(2-1)}{2} = 1\)
\(p\)-value \(= 4.1376451\times 10^{-6}\)
Item Big Five
\(n = 538\); \(I = 50\)
La domanda
Le correlazioni sono spiegabili dalle variabili latenti?
Kayser-Meyer-Olkin
Misura dell’adeguatezza dei dati per l’analisi fattoriale prendendo in considerazione le correlazioni parziali (le correlazioni che rimangono una volta tolto l’effetto delle variabili latenti) degli item
\[KMO = \frac{\sum_{i \ne j} r_{ij}^2}{\sum_{i \ne j} r_{ij}^2 + \sum_{i \ne j} p_{ij}^2}\]
con:
\(r_{ij}\): Correlazione tra \(i,j\) (con \(i, j = 1, \ldots, I\) e \(i \ne j\))
\(p_{ij} = -\frac{\omega_{ij}}{\sqrt{\omega_{ii}\,\omega_{jj}}} \quad \text{con} \quad \Omega = R^{-1}\): Correlazione parziale tra \(i, j\) (controllando per tutte le altre, ovvero quanto resta della relazione tra due variabili dopo aver tolto tutto il resto)
\(KMO > .90\): Ottimo, \(KMO > .70\): Accettabile
Un esempio
\(I = 3\)
\[\mathbf{R} = \begin{pmatrix} 1 & 0.6 & 0.5 \\ 0.6 & 1 & 0.4 \\ 0.5 & 0.4 & 1 \end{pmatrix}\]
\(r_{12}^2 = 0.36, \quad r_{13}^2 = 0.25, \quad r_{23}^2 = 0.16\)
\(\sum r_{ij}^2 = 0.36 + 0.25 + 0.16 = 0.77\)
\[\Omega = \mathbf{R}^{-1} \approx \begin{pmatrix} 1.56 & -0.88 & -0.43 \\ -0.88 & 1.45 & -0.22 \\ -0.43 & -0.22 & 1.29 \end{pmatrix}\]
con \(p_{ij} = -\frac{\omega_{ij}}{\sqrt{\omega_{ii}\,\omega_{jj}}}\) si ottengono:
\(p_{12} = -\frac{\omega_{12}}{\sqrt{\omega_{11}\,\omega_{22}}} = -\frac{-0.88}{\sqrt{1.56 \cdot 1.45}} \approx 0.59\)
\(p_{13} = -\frac{\omega_{13}}{\sqrt{\omega_{11}\,\omega_{33}}} = -\frac{-0.43}{\sqrt{1.56 \cdot 1.29}} \approx 0.30\)
\(p_{23} = -\frac{\omega_{23}}{\sqrt{\omega_{22}\,\omega_{33}}} = -\frac{-0.22}{\sqrt{1.45 \cdot 1.29}} \approx 0.16\)
\(\sum p_{ij}^2 = 0.59^2 + 0.30^2 + 0.16^2 \approx 0.47\)
\[KMO = \frac{\sum r_{ij}^2}{\sum r_{ij}^2 + \sum p_{ij}^2} = \frac{0.77}{0.77 + 0.47} \approx 0.62\]
Item Big Five
\(n = 538\); \(I = 50\)
Kaiser-Meyer-Olkin factor adequacy
Call: KMO(r = mycor$rho)
Overall MSA = 0.84
MSA for each item =
E1 E2 E3 E4 E5 E6 E7 E8 E9 E10 N1 N2 N3 N4 N5 N6
0.88 0.85 0.93 0.91 0.88 0.87 0.89 0.83 0.86 0.88 0.88 0.78 0.85 0.76 0.85 0.83
N7 N8 N9 N10 A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A9 A10 C1 C2
0.77 0.79 0.86 0.85 0.88 0.84 0.84 0.85 0.87 0.79 0.86 0.92 0.87 0.89 0.86 0.83
C3 C4 C5 C6 C7 C8 C9 C10 O1 O2 O3 O4 O5 O6 O7 O8
0.83 0.92 0.83 0.83 0.86 0.85 0.80 0.85 0.74 0.78 0.67 0.75 0.85 0.73 0.85 0.65
O9 O10
0.80 0.83 Estrarre le dimensioni latenti
La domanda
Di quante dimensioni latenti ho bisogno per spiegare le relazioni?
| Metodo | Logica | Autore |
|---|---|---|
| Kaiser (eigenvalue > 1) | soglia fissa | Kaiser (1960) |
| Scree plot | giudizio visivo (il gomito) | Cattell (1966) |
| Parallel analysis | Confronto con dati casuali | Horn (1965) |
| MAP | minimizzazione del residuo |
Eigenvalue (Autovalore)
Misura quanta della varianza totale della matrice di correlazione è catturata da ogni fattore \(f\)
Viene estratto un numero \(f^*\) di fattori latenti per ogni autovalore \(\geq 1\) (Metodo di Kaiser, 1960) \(\rightarrow\) seleziona i fattori che spiegano più varianza di una singola variabile standardizzata.
[1] 9.84142742 5.52833703 4.63300629 3.98118880 3.09613112 1.62580346
[7] 1.33397237 1.09079845 1.08873790 1.01248198 0.93733631 0.90653967
[13] 0.86050342 0.78803527 0.73620908 0.71703912 0.67000442 0.64882836
[19] 0.63511334 0.59212244 0.56075330 0.53939501 0.52017805 0.49129695
[25] 0.47730219 0.42582534 0.42415278 0.41785459 0.40360001 0.37650095
[31] 0.35726114 0.35269216 0.33754745 0.33267729 0.29979759 0.29565488
[37] 0.28938009 0.26655103 0.24926235 0.23875991 0.23286216 0.21192470
[43] 0.20808190 0.18809221 0.16309109 0.15240343 0.14498990 0.13100540
[49] 0.10360982 0.08388006
Scree plot (Cattell, 1966)
Vengono estratti gli \(f\) fattori estraibili (dove \(F = I\)) sull’asse delle x mentre sull’asse delle y vengono plottati gli autovalori associati ad ognuno dei fattori.
Tutto basato sul giudizio visivo di dove si forma la curva a gomito: Si estraggono un numero di fattori tanti quanti sono i fattori sopra il gomito
Parallel analysis (Horn, 1965)
Vengono confrontati gli autovalori estratti dai dati con gli autovalori estratti da dei dati completamente casuali.
Si estraggono tante dimensioni quante sono le dimensioni osservate oltre le dimensioni casuali
Parallel analysis suggests that the number of factors = 7 and the number of components = NA 
Minimum Average Partial (MAP)
Misura quanta varianza residua rimane dopo aver rimosso progressivamente fattori
Sceglie la soluzione che permette di minimizzare la varianza residua
\[MAP(f) = \dfrac{1}{m} \sum_{i \neq j} {r_{ij}^{(f)}}^2\] \(m\): Numero di coppie di variabili
\(r_{ij}^{(f)}\) correlazione parziale tra ogni coppia di variabili dopo aver estratto \(f\) fattori
\[f^* = \arg \min_f MAP(f)\]
Very Simple Structure
Call: vss(x = x, n = n, rotate = rotate, diagonal = diagonal, fm = fm,
n.obs = n.obs, plot = plot, title = title, use = use, cor = cor)
VSS complexity 1 achieves a maximimum of 0.63 with 1 factors
VSS complexity 2 achieves a maximimum of 0.78 with 5 factors
The Velicer MAP achieves a minimum of 0.01 with 6 factors
BIC achieves a minimum of -2011.41 with 8 factors
Sample Size adjusted BIC achieves a minimum of 696.31 with 8 factors
Statistics by number of factors
vss1 vss2 map dof chisq prob sqresid fit RMSEA BIC SABIC complex
1 0.50 0.00 0.039 1175 12643 0.0e+00 95 0.50 0.135 5255 8985 1.0
2 0.48 0.65 0.031 1126 10076 0.0e+00 67 0.65 0.122 2996 6570 1.4
3 0.53 0.71 0.023 1078 7864 0.0e+00 50 0.74 0.108 1085 4507 1.6
4 0.58 0.75 0.019 1031 6230 0.0e+00 38 0.80 0.097 -252 3020 1.6
5 0.63 0.78 0.011 985 4649 0.0e+00 33 0.83 0.083 -1545 1582 1.3
6 0.61 0.71 0.011 940 4131 0.0e+00 33 0.83 0.079 -1780 1204 1.5
7 0.62 0.73 0.011 896 3723 0.0e+00 33 0.83 0.077 -1911 934 1.5
8 0.61 0.71 0.011 853 3352 4.3e-292 34 0.82 0.074 -2011 696 1.5
eChisq SRMR eCRMS eBIC
1 32711 0.158 0.161 25323
2 20251 0.124 0.129 13171
3 11845 0.095 0.101 5067
4 6023 0.068 0.074 -460
5 2540 0.044 0.049 -3654
6 1900 0.038 0.043 -4010
7 1518 0.034 0.040 -4116
8 1286 0.031 0.037 -4078Indici di fit
Per scegliere il “miglior” modello di EFA, vanno confrontate diverse soluzioni che prendano in considerazione diversi modelli fattoriali
Indici comparativi
Akaike’s Information Criterion: \(AIC = 2g - 2 \log(\mathcal{L})\)
Bayesian Information Criterion: \(BIC = g\log(n) - 2 \log(\mathcal{L})\)
\(g\): Numero di parametri liberi stimati dal modello
\(\mathcal{L}\): Funzione di verosimiglianza del modello
\(n\): ampiezza campionaria
AIC e BIC sono indici di entropia: Minore è il loro valore, meglio è la fit del modello
Penalizzano modelli troppo complessi
Test \(\chi^2\) (Goodness-of-fit)
Basato sulla verosimiglianza \(\mathcal{L}\) ottenuta dal confronto tra la matrice di covarianza osservata (\(cov\)) e la matrice di covarianza attesa (\(\hat{cov}\)) secondo il modello fattoriale
\(H_0\): \(cov = \hat{cov}\)
\(df\): Numero di elementi unici nella matrice di covarianza \(-\) numero di parametri stimati (saturazioni, correlazioni tra fattori ecc.)
Molto sensibile all’ampiezza campionaria! Non deve essere l’unica statistica a guidare la scelta del modello
Root mean square error of approximation (RMSEA)
Indice di fit assoluto basato sul \(\chi^2\):
\(RMSEA = \dfrac{\chi^2 -df}{df(n-1)}\)
\(E(\chi^2) = df\) \(\rightarrow\) più è piccolo il valore di RMSEA, minore è l’errore, migliore è il modello
\(RMSEA < .10\) fit accettabile
\(RMSEA < .05\) fit ottima
Comparative Fit Index (CFI)
Confronta la performance del modello target (\(T\)) e di un modello baseline (\(B\)) in cui tutte le covarianze sono fissate a 0 (non c’è correlazione tra le variabili manifeste) e le varianze sono stimate liberamente a partire dai dati:
\[CFI = \dfrac{(\chi_B^2 - df_B) - (\chi_T^2 - df_T)}{(\chi_B^2 - df_B)}\]
Se il modello \(T\) è correttamente specificato: \((\chi_T^2 - df_T) \approx 0 \rightarrow CFI \approx 1\)
\(CFI \geq .90\) Valori accettabili
\(CFI \geq .95\) Valori ottimali
Attenzione!!!
Pensato per modelli confermativi
In EFA viene usato in senso compartivo, nel senso di vedere come cambia la fit del modelo in base al numero di fattori inseriti nel modello fattoriale
Viene definito indice comparativo ma non con lo stesso significato degli indici di entropia (AIC e BIC)
Oltre gli indici
Per valutare la buona fit di un modello fattoriale esplorativo vanno tenuti a mente i principi di:
- Causazione: Varianza spiegata da/dai fattore/i latenti
- Parsimonia: Non aggiungere fattori non necessari
- Struttura semplice: Almeno 3 item per fattore e nessun cross-loading
This is lavaan 0.6-19 -- running exploratory factor analysis
Estimator DWLS
Rotation method OBLIMIN OBLIQUE
Oblimin gamma 0
Rotation algorithm (rstarts) GPA (30)
Standardized metric TRUE
Row weights None
Number of observations 538
Overview models:
chisq df pvalue cfi rmsea
nfactors = 4 4406.781 1031 0 0.687 0.096
nfactors = 5 2792.016 985 0 0.787 0.081
nfactors = 6 2256.067 940 0 0.819 0.076
Eigenvalues correlation matrix:
ev1 ev2 ev3 ev4 ev5 ev6 ev7 ev8
9.8413 5.5283 4.6330 3.9812 3.0962 1.6258 1.3340 1.0908
ev9 ev10 ev11 ev12 ev13 ev14 ev15 ev16
1.0887 1.0125 0.9373 0.9065 0.8605 0.7881 0.7362 0.7170
ev17 ev18 ev19 ev20 ev21 ev22 ev23 ev24
0.6700 0.6488 0.6351 0.5921 0.5607 0.5394 0.5202 0.4913
ev25 ev26 ev27 ev28 ev29 ev30 ev31 ev32
0.4773 0.4259 0.4242 0.4178 0.4036 0.3765 0.3573 0.3527
ev33 ev34 ev35 ev36 ev37 ev38 ev39 ev40
0.3376 0.3327 0.2998 0.2956 0.2894 0.2666 0.2493 0.2387
ev41 ev42 ev43 ev44 ev45 ev46 ev47 ev48
0.2329 0.2119 0.2081 0.1881 0.1631 0.1524 0.1450 0.1310
ev49 ev50
0.1036 0.0839
Number of factors: 4
Standardized loadings: (* = significant at 1% level)
f1 f2 f3 f4 unique.var communalities
E1 0.770* 0.406 0.594
E2 0.716* * .* 0.464 0.536
E3 0.606* .* .* 0.441 0.559
E4 0.735* .* 0.400 0.600
E5 0.718* .* * 0.303 0.697
E6 0.585* .* .* 0.551 0.449
E7 0.765* .* 0.358 0.642
E8 0.598* .* 0.632 0.368
E9 0.690* .* .* 0.479 0.521
E10 0.709* .* 0.414 0.586
N1 .* 0.638* .* 0.432 0.568
N2 .* 0.426* .* 0.684 0.316
N3 .* 0.601* 0.388* 0.422 0.578
N4 .* 0.445* 0.721 0.279
N5 .* 0.460* .* 0.728 0.272
N6 .* 0.712* .* 0.429 0.571
N7 0.852* * 0.291 0.709
N8 0.891* * 0.202 0.798
N9 .* 0.645* 0.516 0.484
N10 .* 0.667* 0.421 0.579
A1 .* 0.560* 0.662 0.338
A2 0.428* 0.506* 0.510 0.490
A3 -0.315* 0.407* 0.741 0.259
A4 * 0.813* 0.325 0.675
A5 .* 0.676* 0.490 0.510
A6 .* 0.600* .* 0.604 0.396
A7 0.390* 0.641* 0.375 0.625
A8 .* 0.636* 0.549 0.451
A9 .* 0.752* 0.417 0.583
A10 0.326* .* 0.422* .* 0.577 0.423
C1 .* -0.438* 0.323* .* 0.646 0.354
C2 -0.305* -0.510* .* 0.670 0.330
C3 .* .* .* 0.394* 0.683 0.317
C4 .* -0.588* 0.337* .* 0.513 0.487
C5 .* -0.488* 0.383* 0.611 0.389
C6 .* -0.505* .* .* 0.648 0.352
C7 .* .* 0.449* . 0.671 0.329
C8 .* -0.411* 0.366* .* 0.669 0.331
C9 .* .* 0.400* 0.753 0.247
C10 .* .* 0.365* 0.316* 0.675 0.325
O1 .* 0.794* 0.363 0.637
O2 .* 0.630* 0.569 0.431
O3 .* 0.659* 0.537 0.463
O4 0.495* 0.747 0.253
O5 .* .* 0.624* 0.468 0.532
O6 .* 0.633* 0.559 0.441
O7 .* 0.555* 0.611 0.389
O8 .* .* 0.709* 0.488 0.512
O9 .* .* 0.308* 0.349* 0.664 0.336
O10 .* 0.745* 0.370 0.630
f2 f1 f3 f4 total
Sum of sq (obliq) loadings 6.638 6.470 5.780 4.655 23.542
Proportion of total 0.282 0.275 0.246 0.198 1.000
Proportion var 0.133 0.129 0.116 0.093 0.471
Cumulative var 0.133 0.262 0.378 0.471 0.471
Factor correlations: (* = significant at 1% level)
f1 f2 f3 f4
f1 1.000
f2 -0.190* 1.000
f3 0.122* -0.039 1.000
f4 0.149* -0.115* 0.109* 1.000
Number of factors: 5
Standardized loadings: (* = significant at 1% level)
f1 f2 f3 f4 f5 unique.var communalities
E1 0.803* * 0.380 0.620
E2 0.768* .* 0.424 0.576
E3 0.631* .* .* .* 0.429 0.571
E4 0.772* 0.378 0.622
E5 0.786* .* .* 0.261 0.739
E6 0.595* .* .* 0.542 0.458
E7 0.802* 0.338 0.662
E8 0.604* .* 0.621 0.379
E9 0.719* .* .* 0.454 0.546
E10 0.731* .* 0.401 0.599
N1 .* 0.725* .* 0.404 0.596
N2 .* 0.503* .* 0.667 0.333
N3 .* 0.692* .* * 0.397 0.603
N4 .* 0.429* .* 0.712 0.288
N5 0.530* .* 0.685 0.315
N6 0.798* .* 0.366 0.634
N7 .* 0.831* .* 0.269 0.731
N8 0.873* .* 0.191 0.809
N9 0.762* .* * * 0.394 0.606
N10 .* 0.641* .* * 0.405 0.595
A1 0.645* 0.598 0.402
A2 0.335* 0.589* * 0.469 0.531
A3 .* -0.328* 0.454* .* 0.662 0.338
A4 * 0.865* 0.265 0.735
A5 0.742* 0.438 0.562
A6 .* 0.645* .* 0.568 0.432
A7 .* * 0.697* 0.338 0.662
A8 0.639* .* 0.526 0.474
A9 .* 0.762* 0.392 0.608
A10 0.314* * 0.401* .* .* 0.565 0.435
C1 0.691* 0.521 0.479
C2 * .* .* 0.615* 0.573 0.427
C3 0.475* 0.328* 0.641 0.359
C4 -0.305* 0.570* 0.479 0.521
C5 0.683* * 0.493 0.507
C6 .* 0.611* 0.571 0.429
C7 .* 0.700* 0.515 0.485
C8 .* .* 0.458* 0.651 0.349
C9 .* .* 0.654* 0.570 0.430
C10 0.562* .* 0.609 0.391
O1 .* 0.789* 0.355 0.645
O2 .* 0.651* 0.516 0.484
O3 . .* 0.668* 0.522 0.478
O4 .* .* .* 0.531* 0.661 0.339
O5 .* * .* 0.607* 0.465 0.535
O6 .* 0.644* 0.528 0.472
O7 .* .* 0.523* 0.601 0.399
O8 .* .* 0.701* 0.476 0.524
O9 .* 0.342* .* .* 0.345* 0.652 0.348
O10 .* 0.743* 0.363 0.637
f1 f2 f3 f5 f4 total
Sum of sq (obliq) loadings 6.254 5.725 5.084 4.467 4.168 25.698
Proportion of total 0.243 0.223 0.198 0.174 0.162 1.000
Proportion var 0.125 0.114 0.102 0.089 0.083 0.514
Cumulative var 0.125 0.240 0.341 0.431 0.514 0.514
Factor correlations: (* = significant at 1% level)
f1 f2 f3 f4 f5
f1 1.000
f2 -0.225* 1.000
f3 0.183* 0.001 1.000
f4 0.092* -0.201* 0.179* 1.000
f5 0.169* -0.080 0.089* 0.073 1.000
Number of factors: 6
Standardized loadings: (* = significant at 1% level)
f1 f2 f3 f4 f5 f6 unique.var
E1 0.794* * 0.377
E2 0.788* .* * * 0.409
E3 0.611* .* .* .* .* .* 0.420
E4 0.797* .* 0.352
E5 0.777* * .* .* * 0.259
E6 0.610* .* .* 0.532
E7 0.795* 0.337
E8 0.612* .* 0.618
E9 0.718* .* .* 0.452
E10 0.756* .* .* 0.374
N1 0.716* .* .* .* 0.382
N2 .* 0.480* .* .* -0.318* 0.576
N3 .* 0.682* .* .* 0.384
N4 .* 0.404* .* .* .* 0.659
N5 0.534* . 0.682
N6 0.804* * 0.358
N7 0.821* * .* .* .* 0.225
N8 0.858* .* * .* 0.180
N9 0.769* .* * 0.387
N10 .* 0.628* .* .* .* 0.365
A1 0.687* .* .* 0.520
A2 0.324* 0.572* * .* 0.464
A3 .* -0.332* 0.447* .* 0.658
A4 0.859* 0.264
A5 0.746* 0.430
A6 .* 0.626* .* 0.559
A7 .* * 0.689* 0.337
A8 0.628* .* * 0.524
A9 .* 0.748* * 0.389
A10 .* 0.368* .* .* 0.544
C1 0.695* 0.521
C2 * .* .* 0.614* .* 0.564
C3 0.486* .* .* 0.634
C4 -0.301* 0.576* 0.477
C5 0.694* .* 0.482
C6 .* 0.610* * .* 0.556
C7 .* 0.702* 0.515
C8 .* .* 0.466* 0.650
C9 * .* 0.661* .* 0.560
C10 0.567* .* .* 0.607
O1 * * .* 0.783* .* 0.273
O2 .* 0.548* .* 0.469
O3 .* .* 0.758* 0.397
O4 . .* .* .* 0.411* .* 0.637
O5 .* .* .* 0.593* 0.419
O6 0.736* 0.427
O7 .* .* .* 0.400* .* 0.585
O8 * .* .* 0.768* 0.371
O9 .* 0.336* .* .* .* .* 0.644
O10 .* .* 0.685* 0.311
communalities
E1 0.623
E2 0.591
E3 0.580
E4 0.648
E5 0.741
E6 0.468
E7 0.663
E8 0.382
E9 0.548
E10 0.626
N1 0.618
N2 0.424
N3 0.616
N4 0.341
N5 0.318
N6 0.642
N7 0.775
N8 0.820
N9 0.613
N10 0.635
A1 0.480
A2 0.536
A3 0.342
A4 0.736
A5 0.570
A6 0.441
A7 0.663
A8 0.476
A9 0.611
A10 0.456
C1 0.479
C2 0.436
C3 0.366
C4 0.523
C5 0.518
C6 0.444
C7 0.485
C8 0.350
C9 0.440
C10 0.393
O1 0.727
O2 0.531
O3 0.603
O4 0.363
O5 0.581
O6 0.573
O7 0.415
O8 0.629
O9 0.356
O10 0.689
f1 f2 f3 f4 f6 f5 total
Sum of sq (obliq) loadings 6.186 5.639 4.965 4.249 3.190 2.657 26.884
Proportion of total 0.230 0.210 0.185 0.158 0.119 0.099 1.000
Proportion var 0.124 0.113 0.099 0.085 0.064 0.053 0.538
Cumulative var 0.124 0.236 0.336 0.421 0.485 0.538 0.538
Factor correlations: (* = significant at 1% level)
f1 f2 f3 f4 f5 f6
f1 1.000
f2 -0.232* 1.000
f3 0.164* 0.016 1.000
f4 0.113* -0.206* 0.182* 1.000
f5 0.010 -0.025 0.004 0.046 1.000
f6 0.227* -0.077 0.119* 0.062 0.242* 1.000 Indici di fit
chisq df pvalue cfi rmsea
nfactors = 4 4406.781 1031 0 0.687 0.096
nfactors = 5 2792.016 985 0 0.787 0.081
nfactors = 6 2256.067 940 0 0.819 0.076Riporta la model comparison tra i modelli:
chisq: Chi-quadro del modello (testa l’ipotesi nulla per cui i dati si conformano al modello con \(F\) fattori)
df: gradi di libertà del modello
pvalue: p-value associato al chi quadro
cfi: Va interpretato in maniera comparitiva, non assoluta!
rmsea: Interpretato sia in maniera comparativa che assoluta
f2 f1 f3 f4 total
Sum of sq (obliq) loadings 6.638 6.470 5.780 4.655 23.542
Proportion of total 0.282 0.275 0.246 0.198 1.000
Proportion var 0.133 0.129 0.116 0.093 0.471
Cumulative var 0.133 0.262 0.378 0.471 0.471 f1 f2 f3 f5 f4 total
Sum of sq (obliq) loadings 6.254 5.725 5.084 4.467 4.168 25.698
Proportion of total 0.243 0.223 0.198 0.174 0.162 1.000
Proportion var 0.125 0.114 0.102 0.089 0.083 0.514
Cumulative var 0.125 0.240 0.341 0.431 0.514 0.514 f1 f2 f3 f4 f6 f5 total
Sum of sq (obliq) loadings 6.186 5.639 4.965 4.249 3.190 2.657 26.884
Proportion of total 0.230 0.210 0.185 0.158 0.119 0.099 1.000
Proportion var 0.124 0.113 0.099 0.085 0.064 0.053 0.538
Cumulative var 0.124 0.236 0.336 0.421 0.485 0.538 0.538Soluzione a 4 fattori
f2 f1 f3 f4 total
Sum of sq (obliq) loadings 6.638 6.470 5.780 4.655 23.542
Proportion of total 0.282 0.275 0.246 0.198 1.000
Proportion var 0.133 0.129 0.116 0.093 0.471
Cumulative var 0.133 0.262 0.378 0.471 0.471
Soluzione a 5 fattori
f1 f2 f3 f5 f4 total
Sum of sq (obliq) loadings 6.254 5.725 5.084 4.467 4.168 25.698
Proportion of total 0.243 0.223 0.198 0.174 0.162 1.000
Proportion var 0.125 0.114 0.102 0.089 0.083 0.514
Cumulative var 0.125 0.240 0.341 0.431 0.514 0.514
Soluzione a 6 fattori
f1 f2 f3 f4 f6 f5 total
Sum of sq (obliq) loadings 6.186 5.639 4.965 4.249 3.190 2.657 26.884
Proportion of total 0.230 0.210 0.185 0.158 0.119 0.099 1.000
Proportion var 0.124 0.113 0.099 0.085 0.064 0.053 0.538
Cumulative var 0.124 0.236 0.336 0.421 0.485 0.538 0.538
Factor scores
Sono i livelli della variabile latente stimati in base al modello fattoriale
Si possono estrarre dai modelli esplorativi, MA:
- Sono instabili: Dipendono da una serie di decisioni prese (e.g., il tipo di rotazione)
- Non rappresentano realmente la variabile latente
- Non possono essere usati per fare infereneze, ma solo a scopi esplorativi
Test per le organizzazioni